Лекция 4 Аппроксимация функций.

На практике часто неизвестна явная связь между и, т. е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости.Или запись громоздка, содержит трудно вычисляемые выражения.

Практически важен случай, когда вид связь задается таблицей . Это означает, что дискретному мно­жеству значений аргументапоставлено в соответствие множество значений функции. Эти значения — либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике нам могут пона­добиться значения величиныи в других точках, отличных от узлов. Мы при­ходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисленияпри любом значении (из некоторой области) параметра, поскольку точная связьне известна.

Задачао приближении (аппроксимации) функций: данную функциютребуется приближенно заменить (аппроксими­ровать) некоторой функциейтак, чтобы отклонениеотв заданной области было наименьшим. Функ­цияпри этом называется аппроксимирующей.

Важен случай аппроксимации функции много­членом

(1).

При этом коэффициенты будут подбираться так, чтобы достичь наи­меньшего отклонения многочлена от данной функции.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и другие. При построении приближения на непрерывном множестве точек аппроксимация называется непрерывной(или интегральной).

Точечная аппроксимация.

Одним из основных типов точечной ап­проксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (1), принимающий в заданных точках, те же зна­чения, что и функция, т. е.

,(2).

При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т. е.при. Точкиназываются узлами интерполяции, а многочлен- интерполяционным многочленом.

Максимальная степень интерполяционного многочлена , в этом случае говорят о глобальной интерполяции, поскольку один многочлен

(3)

используется для интерполяции на всем рассматриваемом интервале аргумента. Коэффициентымногочлена (3) находятся из системы уравнений (2). При() эта система имеет единственное решение.

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения . В этом случае имеем кусочную (или локальную) интерполяцию.

При использовании интерполяции многочленов вне рассматриваемого отрезка приближение называютэкстраполяцией.

При большом количестве узлов интерполяции в случае глобальной интерполяции получается высокая степень многочлена (3). Кроме того, табличные данные, полученные при измерениях, могут содержать ошибки. Построение аппроксимирующего многочлена с услови­ем обязательного прохождения ее графика через экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена, график которого проходит близко от данных точек.

Одним из таких видов приближения является среднеквадратичное приближение функции с помощью многочлена (1).При этом ; случайсоответствует глобальной интерполяции. На практике стараются подо­брать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени.

Мерой отклонения многочлена от заданной функциина мно­жестве точекпри среднеквадратичном прибли­жении является величина, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в данных точках

(4).

Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты так, чтобы величинабыла наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов.

Равномерное приближение.

При построении приближения ста­вится более жесткое условие: требуется, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонение многочленаот функциибыло по абсолютной величине меньшим заданной величины:

,.

В этом случае говорят, что многочлен равномерно ап­проксимирует функциюс точностьюна отрезке.

Введем понятие абсолютного отклонения многочленаот функциина отрезке. Оно равно максимальному значению абсолютной величины разности между ними на данном отрезке:

(5).

По аналогии можно ввести понятие среднеквадратичного отклонения при среднеквадратичном приближении функций.

Возможность построения многочлена, равномерно приближающего данную функцию, следует из теоремы Вейерштрасса об аппрокси­мации.

Теорема.Если функциянепрерывна на отрезке, то для любогосуществует многочленстепени, абсолютное отклонение которого от функциина отрезкемень­ше.

Существует также понятие наилучшего приближения функции многочленомфиксированной степени. В этом случае коэффи­циенты многочленаследует выбрать так, чтобы на заданном отрез­кевеличина абсолютного отклонения (5) была минимальной. Многочленназывается многочленом наилучшего равномерного приближения. Существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения вытекает из следующей теоремы:

Теорема. Для любой функции, непрерывной на замкнутом огра­ниченном множестве, и любого натуральногосуществует много­членстепени не выше, абсолютное отклонение которого от функцииминимально, т. е., причем такой многочлен единственный.

(Множество обычно представляет собой либо некоторый отрезоклибо конечную совокупность точек.)